$\mathbf{R}$上有限个闭集的并仍然是闭集(无限个闭集的并不一定).

这个命题的证明很简单，我看到过的证明方法都是把它使用德-摩根公式转化为开集的相应命题来做的.但是我今天重新看了一下,觉得用极限点的观念来看格外直观和直接.现在用极限点的观念来看为什么有限个闭集的并仍然是闭集.

 

设$I$是有限集合,$\forall i\in I$,$A_i$都是闭集,则$\bigcup_{i\in I}A_i$是闭集.

为了证明$\bigcup_{i\in I}A_i$是闭集,我们只用证明从$\bigcup_{i\in I}A_i$中挑出任意元素组成的数列若收敛,则收敛到的点$a$必定仍然属于$\bigcup_{i\in I}A_i$.这个数列有无限项,而$I$是有限集合,因此必定有无限个元素是从$A_{i'}$中取出的，其中$i'\in I$.从$A_{i'}$中取出的这无限个元素形成的子列必定收敛到$a$,而$a\in A_{i'}$,因此$a\in \bigcup_{i\in I}A_i$.完毕.